Tema 2

Sistemas de ecuaciones lineales

Una ecuación lineal sobre el cuerpo \(\mathbb K\) con \(n\) incognitas —o variables— \(x_1, \cdots, x_n\) es una expresión de la forma

\[\begin{split}\begin{matrix} a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n = b & a_i \in \mathbb K \; \forall i = 1, \cdots, n \\ & b \in \mathbb K \end{matrix}\end{split}\]

Los elementos \(a_i\) se llamarán coeficientes, mientras que \(b\) es el término independiente.

Ejemplo

\[x + y = 0\]

Un elemento \((\alpha_1, \cdots, \alpha_n) \in \mathbb K^n\) es una solución de una ecuación lineal si se verifica

\[a_1 \alpha_1 + \cdots + a_n \alpha_n = b\]

Definición

Un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes en \(\mathbb K\) y con \(n\) incógnitas —o variables— \(x_1, \cdots, x_n\) es

\[\begin{split}\left. \begin{matrix} a_{11} x_1 + \cdots + a_{1n} x_n = b_1 \\ a_{21} x_1 + \cdots + a_{2n} x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1} x_1 + \cdots + a_{mn} x_n = b_m \\ \end{matrix} \right\} \\ a_{ij} \in \mathbb K \; \forall i = 1, \cdots, m \\ \forall j = 1, \cdots, n \\ b_i \in \mathbb K \; \forall i = 1, \cdots, m\end{split}\]

Es decir, \(m\) ecuaciones con coeficientes en \(\mathbb K\) en las mismas \(n\) incógnitas.

• \((\alpha_1, \cdots, \alpha_n) \in \mathbb K^n\) es solución del sistema si es la solución de cada una de las \(m\) ecuaciones lineales que lo forman.
• Si \(b_j = 0 \; \forall j = 1, \cdots, m\) se dice que el sistema es homogéneo.
• Si el sistema tiene solución se dice que es compatible, y será
  • Compatible Determinado si la solución es única.
  • Compatible Indeterminado si tiene más de una solución.
• Si el sistema no tiene solución se dice que es Incompatible.
• \(A = (a_{ij}) \in \mathcal M_{m \times n}(\mathbb K)\) es la matriz de coeficientes del sistema.
• \(b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{pmatrix} \in \mathcal M_{m \times 1}\) es la matriz de términos independientes del sistema.
• \(Ax = b\) es la expresión matricial del sistema —con \(x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}\)
• \((A|b) \in \mathcal M_{m \times (n + 1)}\) es la matriz ampliada del sistema.

Definición

Dos sistemas \(S\) y \(S'\) de ecuaciones lineales en \(\mathbb K\) en las mismas \(n\) incógnitas —\(x_1, \cdots, x_n\)— son equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones.

Nota

Si ambos son incompatibles tienen el mismo conjunto de soluciones.

Definición

Dado un sistema \(Ax = B\), el sistema de ecuaciones cuya matriz ampliada se obtiene de \((A|B)\) después de una sucesión finita de operaciones elementales en filas, es un sistema equivalente a \(Ax = B\).

Demostración

\[\begin{split}\begin{matrix} (A|B) \xrightarrow[ \text{Op. elemental en filas con la matriz elemental } E ]{} E(A|B) = (EA|EB) \\ \\ (\alpha_1, \cdots, \alpha_n) \in \mathbb K^n \text{ es solución de } Ax = B \\ \Updownarrow \\ A \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{pmatrix} = B \\ \Updownarrow \\ EA \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n \end{pmatrix} = EB \\ \Updownarrow \\ (\alpha_1, \cdots, \alpha_n) \in \mathbb K^n \text{ es solución de } (EA)x = EB \\ \end{matrix}\end{split}\]

Definición

El sistema \(Ax = B\) es escalonado si la matriz \(A\) es escalonada.

A las incógnitas —o variables— correspondientes a las columnas de los pivotes se les llama incógnitas principales, y a las otras incógnitas libres.

Corolario

Todo sistema \(Ax = B\) es equivalente a un sistema escalonado.

Demostración

\((A|B)\) es equivalente a una matriz escalonada \((A'|B')\), entonces los sistemas \(Ax = B\) y \(A'x = B'\) son equivalentes.

Método de Gauss

Para resolver el sistema \(Ax = B\)

1. Escalonamos la matriz \((A|B)\), obteniendo la matriz equivalente \((A'|B')\).
2. Resolvemos \(A'x = B'\) con el método de substitución hacia atrás. Si no es posible, el sistema no tiene solución.

Discusión de un sistema escalonado

1. Si existe un pivote en la última columna de la matriz ampliada, es decir \(r_f(A) \neq r_f(A|B)\), el sistema es incompatible, ya que existe una ecuación de la forma \(0x_1 + \cdots + 0x_n = b_s \neq 0\) —siendo \(b_s\) el pivote de la columna \(B\).

2. Si no hay pivote en la última columna de la matriz ampliada, es decir \(r_f(A) = r_f(A|B)\), el sistema es compatible:

   1. \[r_f(A) = r_f(A|B) = \text{ número de incógnitas } \Rightarrow \text{ Sistema Compatible Determinado}\]
   2. \[\begin{split}\begin{matrix} r_f(A) = r_f(A|B) < \text{ número de incógnitas } \\ \Downarrow \\ \text{Existen } n - r_f(A) \text{ variables libres} \\ \Downarrow \\ \text{Sistema Compatible Indeterminado} \end{matrix}\end{split}\]

Proposición

Con \(Ax = B\) sistema de \(n\) ecuaciones lineales con \(n\) incógnitas

\[\text{El sistema es compatible y determinado} \Leftrightarrow A \text{ es no singular}\]

Demostración

\[\begin{split}\begin{matrix} "\Leftarrow" & \\ & \left. \begin{matrix} Ax = B \\ A \text{ no singular} \end{matrix} \right\} \Rightarrow A^{-1} A x = A^{-1} B = A^{-1} A x = x \\ "\Rightarrow" & \\ & r_f(A) = r_f(A|B) = n \Rightarrow A \sim_f I_n \Rightarrow A \text{ es no singular} \end{matrix}\end{split}\]

Regla de Cramer

Con \(Ax = B\) Sistema Compatible Determinado

\[\begin{split}x_i = \frac{ \begin{matrix} \begin{matrix} & & i & & \\ & & \downarrow & & \end{matrix} \\ \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & b_1 & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & b_n & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \end{matrix} }{|A|}\end{split}\]

Demostración

\[\begin{split}\begin{matrix} A^{-1} = \frac{1}{|A|} (\text{adj} A)^t \\ \\ \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} = A^{-1} B \\ \\ x_i = X(i, 1) = (A^{-1} B) (i, 1) = \displaystyle \sum_{k = 1}^n A^{-1}(i, k) B(k, 1) \\ \\ \xrightarrow[]{\text{Observación}} (\text{adj } A)^t (i, k) = (\text{adj } A) (k, i) = \alpha_{ki} \\ \\ \begin{matrix} x_i = & \underbrace{ \frac{1}{|A|} \sum_{k = 1}^n \alpha_{ki} b_k } \\ & \begin{matrix} \text{Desarrollo de} \\ \text{Laplace por la} \\ \text{columna } i \end{matrix} \end{matrix} \end{matrix}\end{split}\]